De la Belleza a la Geometría. Una invitación a Platón.

Lo que viene a continuación es una parte de la página Apuntes sobre la sección áurea en el arte, la filosofía y la ciencia de un profesor de filosofía de instituto. En ella se expone la estrecha relación que los griegos establecían entre la belleza y las matemáticas.

 En el arte griego la perfección de las formas es el fruto del culto a la proporción numérica. Detrás de la belleza se halla siempre el número. Platón y los pitagóricos elevan este trasfondo cultural a pensamiento filosófico al afirmar que la realidad es, en último término, número. 

El embrujo de las matemáticas comenzó cuando Pitágoras adivinó que existe una relación entre la longitud de las cuerdas de una lira y los acordes fundamentales de la música. "Por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones

do

re

mi

fa

sol

la

si

do

264

297

330

352

396

440

495

528

1/1

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

2/1

De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de do a fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás." (www.epsilones.com)

 Tanto entusiasmó a Pitágoras este descubrimiento que pensó que detrás de todo lo que existe hay una Ley Matemática, una Armonía. Esta mentalidad se extendió luego a la arquitectura, a la escultura, a la filosofía... Veamos algunos ejemplos.

Un ejemplo "simple" de proporción numérica aplicada al arte es el canon de Policleto, escultor griego del s. V a. C.  En su estatua "Doríforo" ("el que lleva la lanza") muestra que el cuerpo humano perfecto ha sido creado de tal manera que su altura es ocho veces la cabeza. Esta es una proporción conmensurable, es decir, que emplea números enteros.

El Doríforo, siglo V a.C. Museo Nacional, Nápoles).
(G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 284)

Sin embargo, los grandes logros artísticos de la Grecia clásica tienen que ver con la utilización de proporciones inconmensurables, es decir aquellas que se expresan mediante números irracionales.

La sección áurea o número áureo era, para Platón, la más hermosa  relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas. Platón la empleó en la alegoría de la línea para exponer su teoría del conocimiento. La sección áurea fue descubierta por los pitagóricos y luego fue empleada por artistas, filósofos y científicos tal que terminaron llamándola en el Renacimiento la proporción divina. La construcción geométrica de la sección áurea es sencilla:

 

Sección áurea. (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 289)

El segmento AM es la la sección áurea de AB, porque AM / AB = MB / AM. Cuando el segmento AB tiene valor 1 la sección áurea tiene el valor 0,618... Esto puede demostrarse del siguiente modo:  si AB = 1 y la longitud de AM = x, entonces AM/AB = MB/AM se convierte en x/1 = (1 - x)/x.

Ahora podemos calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor, AB o x, entre el segmento menor, AM o 1-x. El resultado es el número áureo o número de oro, también llamado j en honor al escultor griego Fidias (s. V a. C) y cuyo valor es 1,618...

Otro modo de llegar hasta j consiste en suponer que el segmento AM es igual a 1 y AB  es x. En ese caso la ecuación quedaría como sigue:

Existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a. C.).

 
       Hermes con Dioniso niño. (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 304)

También la Venus de Milo respeta la sección áurea aunque la aplica un poco más libremente:

Venus de Milo. Museo del Louvre, París. (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 303)

El homo quadratus y rotundus, es decir, inserto en un cuadrado y un círculo, tal y como aparece en el famoso dibujo de Leonardo da Vinci, marca el canon o medida de la perfección humana. En  este caso Leonardo se limita a resucitar la visión de la figura humana que existía ya en la antigua Grecia.

Homo quadratus de Leonardo. 

La sección áurea se aplica al homo quadratus del siguiente modo: "Considerando la figura humana inscrita en el cuadrado, el ombligo corresponde a la sección áurea del lado y es el centro del círculo circunscrito al "homo rotundus". Subdividiendo OM y ON en sección áurea, y haciendo luego lo mismo con los segmentos resultantes, se obtienen los puntos correspondientes a las rodillas, ingle, hombros y ojos." (G. Reale: Por una nueva interpretación de Platón, p. 312)

Homo quadratus. 

También podemos ver muestras de la sección áurea en la arquitectura. La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos. En la figura se puede comprobar que AB/CD=j. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=j y CD/CA=j.

Partenón  ( www.epsilones.com )

Los ejemplos vistos hasta el momento certifican que Platón entendía que los primeros principios que sirven de fundamento a las Ideas o Formas eran principios matemáticos. Incluso una Idea ética como la Idea del Bien puede reducirse a la "justa medida", el número de las Musas que aparece en la República. Platón cree que el Estado perfecto entrará en decadencia cuando los gobernantes olviden el Número que ha de regular los emparejamientos y los nacimientos dentro del Estado. La armonía y la  unidad del Estado, por tanto la Idea del Bien, dependen en última instancia del respeto a la armonía matemática del Universo. También Aristóteles hablará de la virtud como del "justo medio" entre dos extremos.

De algún modo, Platón, al situar a las matemáticas como estructura última de lo real,   puso en marcha la Física moderna. Es en su diálogo Timeo donde revela algunas de sus ideas al respecto. Atribuye a cada elemento de la naturaleza uno de los cinco sólidos regulares: tetraedro (fuego), octaedro (aire), icosaedro (agua), cubo (tierra) y dodecaedro (éter). "Al tetraedro, por ser el de menor volumen, le emparejó con el fuego por aquello de la sequedad; al icosaedro, por ser el de volumen más grande, con el agua por aquello de la humedad; al cubo, por ser el que se asienta más fácilmente, con la tierra; mientras que al octaedro, por girar al sujetarlo por vértices opuestos, con el aire."  ( www.epsilones.com )

En la página De la Belleza a la Geometría. Una invitación a Platón. hay una curiosa teoría del cirujano plástico Stephen R. Marquardt acerca de la belleza de los rostros. 

 Marquardt ha procedido como indica Platón, examinando distintos cuerpos bellos como estos:

Como vemos se trata de rostros de mujeres de diferentes razas, pero sin embargo tienen algo en común que los hace bellos. Lo que Marquardt ha descubierto es que eso que tienen en común es una proporción geométrica entre los distintos elementos de la cara. Estas proporciones estarán, por cierto, íntimamente ligadas a la famosa proporción áurea (tan platónica ella) cuya aparición, al parecer, es frecuente en el mundo biológico.

Si la belleza de cada uno de estos rostros es hermana del resto, Marquardt afirma haber encontrado a la madre de todas esas bellezas, al patrón y/o matriz (padre y madre a la vez) de la belleza. Este es su aspecto visible, aunque sólo podrá contemplarse completamente desde un punto de vista inteligible, matemático:

Las líneas rojas marcan la proporción básica del rostro, según la cual la proporción entre la distancia entre los ojos y la longitud de la boca tiene que ser ¡la proporción áurea! Proporción que también debe mantenerse entre la longitud de la boca y la distancia de la boca respecto a la línea de los ojos. Veamos qué ocurre cuando aplicamos la máscara a los rostros de antes:

¡Encajan! Otras no han sido tan agraciadas…

Según Marquardt el que a unas las veamos bellas y a otras feas no es una mera cuestión de gustos, sino que se trata de que unas son objetivamente bellas y otras objetivamente feas. No depende de la educación, de la cultura, del status social, simplemente es así. Incluso las bellezas del pasado dice Marquardt que participan de su máscara:

Esperemos que el amor a los cuerpos acabe conduciéndonos (además) a la geometría…
Links:
La página web de Marquardt
La proporción áurea
Isla Desolación